연속확률분포 - 감마분포

감마분포 Gamma distribution 

 

 

감마분포

 

감마분포는 두 모수가 양수이며, 감마함수를 이용하여 나타내는 확률분포이다. 

 

지수분포와 비슷하게 a번째 사건이 일어나기까지의 시간을 알고 싶을 때 사용하는 확률분포이다. 

 

확률분포는 다음과 같고, 기호는 X ~ Gamma (a, 1/λ) 로 표현한다.  

 

 

감마분포의 기댓값은 a/λ 분산은 a/λ**2 이다. 

 

 

 

 

 

여기에서 감마함수 Γ(a) 의 정의는 다음과 같다. 

 

감마함수의 특징을 정리해 보면,

Γ(1) = 1 
Γ(a) = (a-1) Γ(a-1)
Γ(n) = n-1!
Γ(1/2) = √π

부분적분을 적용하고, a=n을 반복하여 계산해 보면 다음과 같은 성질이 정의되는 것을 알 수 있다. 

 

 

 

앞서 말했듯이 감마분포는 지수분포와 연관이 있다.

 

지수분포를 일반화하여 감마분포를 정의할 수 있다. 

감마분포에서 a=1 이면 감마분포의 확률분포는 지수분포의 확률밀도함수가 된다. 

 

 

 

*카이제곱분포 

감마분포에서 a=n/2 λ=1/2 인 경우에 이를 카이제곱분포라고 정의한다. 

기호로 나타내면 다음과 같다. 

 

 

 

 

 

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출처: 제 4판 통계학입문 [이해와 응용] 

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