확률변수의 결합분포

결합확률질량함수 /  결합확률밀도함수  /  주변확률분포

 

 

 

지금까지 여러 가지 확률변수와 확률분포에 관해 배웠다.

이러한 확률분포의 결합인 결합확률질량함수, 결합확률밀도함수에 대해 알아보자. 

 

결합확률질량함수 

 

하나의 표본공간에 두 개 이상의 이산확률변수를 할당할 수 있다. 

예를 들어, 이산확률분포에서 동전 던지기 실험을 생각해 보자. 

 

동전 던지기 실험에서

X를 앞면의 수로 나타낸 확률분포는 다음과 같다. 

 

x	0	1	2	합
P(X=x)	1/4	2/4	1/4	1

 

Y를 첫번째 결과가 앞면일 때 == 1 와 그렇지 않을 때 == 0 라고 정의하자. 

동전을 두 번 던진다고 가정하면 Y의 확률분포는 다음과 같다. 

 

y	0	1	합
P(Y=y)	1/2	1/2	1

 

 

 

확률변수 X, Y를 합쳐 결합확률분포를 나타낼 수 있다. 

 

		x			합
		0	1	2
y	0	1/4	1/4	0	1/2
	1	0	1/4	1/4	1/2
합		1/4	2/4	1/4	1

 

이렇게 '동전 던지기' 라는 하나의 실험에 X, Y 두 개의 확률변수가 정의될 수 있을 때,

(X, Y)를 이산형 결합확률변수라고 한다. 

 

X, Y가 가질 수 있을 모든 값들은 (x1, y1) (x2, y2) ... (xi, yj) 라고 나타낸다. 

 

이렇게 확률변수가 모두 이산형일 때 결합확률질량함수 (joint) 라고 하며 p(xi,yj) 로 표기한다. 

 

 

 

결합확률밀도함수 

 

결합분포를 가지는 두 확률변수가 연속형 확률변수일때, (X, Y) 를 연속형 결합확률밀도함수라고 한다. 

f(x, y) 로 표기하며 결합확률밀도함수는 다음과 같은 성질을 만족한다. 

 

 

 

 

주변확률분포 (marginal) 

 

주변확률분포는 결합확률분포를 하나의 변수로 표현하기 위해서 사용되며, 즉 개별 사건의 확률이다. 

말 그대로 결합확률분포의 '주변'이라고 생각하면 된다.  

 

결합확률질량함수에서 주변확률질량함수는 각 확률변수 행에 주어진 결합확률로 생각하면 된다. 

p1(x) p2(y) 는 각각 X Y 의 확률질량함수와 같다. 

 

결합확률밀도함수에서 x의 주변확률밀도함수는 다른 확률변수 y에 대하여 적분하여 구할 수 있다. 

 

 

 

/* 틀린 것이 있다면, 댓글을 남겨주세요

출처: 제4판 통계학입문 [이해와 응용] 

*/