모수의 비교 - 모평균

대응 표본 t test | 독립 이표본 t test  

 

 

 

모수의 비교 

 

두 모수를 비교할 때 샘플링 방법에 따라 대응표본 t검정, 독립 이표본 t검정으로 나뉜다. 

이전 포스팅과 동일하게 모평균, 모비율, 모분산 순으로 알아보려 한다. 

 

 

대응 표본 t검정

 

대응표본이란? 

동일한 사람에게서 서로 대응되는 변수의 값을 측정, 혹은 실험 전과 후를 비교하기 위해 값을 측정한 표본이다.

연관성이 존재하기 때문에 표본은 하나이며, 독립이 아니다. 

 

쉽게 말해 동일한 사람에게 대응되기에 대응 표본이라 생각하면 이해하기 편하다.  

 

대응표본을 통해 두 모수를 비교하는 방법이 대응비교이다. 

관심을 갖는 모수가 2개일 때, 이 모수들의 대소를 비교하는 것이 검정 목적이다. 

 

예를 들어, 신약 개발을 위해 실험 참가자에게 일주일은 가짜약을, 그 후 일주일은 신약을 투여했다고 했을 때 실험 참가자들의 신약 투약 전 후 상태 차이를 비교하여 신약 개발 효과를 판단할 때 사용된다. 

 

이때 검정하고자 하는 가설은 다음과 같다. 

 

가설 검정은 앞선 포스팅의 모평균 가설검정과 동일하게 t검정을 사용하여 대응 표본 t검정을 시행하면 된다. 

 

 

 

독립 이표본 t검정

 

각각의 모집단에서 표본이 독립적으로 추출되었을 때 독립 이표본 t검정을 시행한다. 

샘플 2개에서의 차이를 검정하는 것으로, 대응 표본과 달리 두 개의 그룹에서 추출하기에 표본의 개수가 다를 수 있다. 

또한, 랜덤 추출이기에 다른 값에 영향을 미치지 않으므로 표본은 독립이다. 

 

 

이때 모평균 비교는 모분산에 따라 방법이 다르다. 

 

   1. 두 모분산이 동일할 때 (등분산)

 

모분산의 참값이 알려지지는 않았지만 값이 동일하다고 가정할 때, 동일한 분산을 공통분산이라 부르며 σ^2라 표시한다.

이러한 공통분산의 추정값으로 합동분산을 사용한다.

 

합동분산은 ? 

그룹에서 각각 구한 표본분산들의 가중평균이다. 

 

표본의 수가 nx ny인 두 개 그룹의 합동분산은 다음과 같이 나타낸다. 

 

 

이렇게 구한 합동분산을 사용하여 t 검정을 시행한다. 

 

 

   2. 두 모분산이 다를 때 (이분산)

 

만약, 두 모집단이 정규분포를 따르며 표본의 크기가 크다면 z검정을 할 수 있다.

정규분포를 따르지 않더라도 중심극한정리를 이용하여 z검정을 시행할 수 있다.  

 

   이때, 표본의 크기가 충분히 크지 않다면 welch's t 검정을 시행할 수 있다.

 

 표준정규분포 대신 자유도 v를 이용한 t분포를 사용할 수 있다. 

 

 

 

 

 

 

 

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출처: 제 4판 통계학입문 [이해와 응용] 

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