모평균의 점추정과 구간추정

모평균의 점추정 | 구간추정 

 

 

이전 포스팅에서 보았듯이, 모수의 추정은 점추정과 구간추정으로 나눌 수 있다. 

 

모평균의 점추정

 

모평균에 관한 점추정 값으로 절사평균, 표본평균, 중앙값 등 여러 가지 통계량을 사용할 수 있다. 

이 중 모평균의 추정량을 표본평균을 사용할 것이다.

 

모평균이 μ 모분산이 σ^2 인 모집단에서 n개의 표본을 추출하며, 확률표본이 독립이고 동일한 모집단의 분포를 따른다면 표본평균의 기댓값과 분산은 다음과 같다.

 

 

따라서 모평균  μ에 대한 점추정량에 관해 정리해보면 다음과 같다. 

 

구간추정

 

구간 추정은 모수의 참값이 속할 것이라고 예상되는 구간을 정하는 것이다. 

구간의 양 끝점을 각각 (L, U) 라고 정하며, 하한값, 상한 값으로 불린다. 

 

또한, 구간이 모수의 참값을 포함할 확률을 정하며 이를 신뢰수준으로 부른다. 보통 90% 95% 정도를 많이 사용한다. 

구간의 길이가 길수록 신뢰수준은 높아지는 비례관계를 갖는다. 

 

모수 θ에 대한 100(1-a) % 신뢰구간을 P(L<θ<U)>=1-a 를 만족하는 구간 (L, U) 을 말한다. 

 

 

 

모평균의 구간추정 

 

모평균  μ 에 대한 신뢰구간은 점추정값인 표본평균 주위로 구할 수 있다. 

따라서 표본평균보다 작은 값을 하한값으로, 큰 값을 상한 값으로 정하여 구간을 만들면, 신뢰구간이 모평균을 포함할 가능성이 높다고 생각할 수 있다. 

 

 

이때, 표본평균의 분포는 모집단의 분포에 따라 달라진다. 

 

우선, 모집단이 정규분포를 따르고 모분산의 값이 알려져 있는 경우를 들 수 있다. 

표본평균 근처에 모평균이 있을거라는 사실을 전제하고 있으며, 표본의 크기가 증가할수록 신뢰구간의 길이가 짧아진다. 

모집단의 분포는 정규분포이고 모분산값이 알려져 있을 때 모평균에 대한 신뢰구간은 다음과 같다.

  

두번째로 모집단의 분포는 정규분포이고, 모분산 값을 모를 때이다.

모분산을 모른다면 표본표준편차를 이용하여 구할 수 있다. 

 

따라서 이러한 경우에는 t분포를 사용한다. 

 

*스튜던트 t분포: 자유도에 의해 분포의 모양이 결정되며, 정규분포와 같이 0에 대해 좌우대칭이며 종 모양 형태이다. 차이점은 표준정규분포보다 더 넓게 분포되어 있다는 것이다. 표본의 크기가 크면 정규분포와 거의 유사하다. 

 

신뢰구간은 다음과 같이 나타낸다. 

 

 

 

마지막으로 모집단의 분포와 모분산 모두를 모를 때의 경우가 있다. 

 

앞서 보다시피 표본평균의 확률분포는 모집단의 분포와 표본의 크기에 영향을 받는다. 

따라서 표본의 크기가 충분히 크다면, 중심극한정리 성질에 의하여 표준정규분포에 근사한다. 

표본분산의 값도 모분산의 값과 근사한다. 

 

이를 통해 얻은 신뢰구간은 다음과 같다. 

 

 

 

 

 

 

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출처: 제 4판 통계학입문 [이해와 응용] 

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