모수의 추정

 

모수

 

모수란? 

모집단의 분포의 특징을 나타내는 대푯값이다. 

 

이러한 모수를 추론하기 위한 방법으로 통계학에서는 1) 모수의 추정 2) 모수에 관한 가설검정  구분하고 있다. 

 

먼저 모수의 점추정에 관해 알아보자. 

 

이전에 우리가 원하는 모수를 θ 라고 표기하며, 확률표본을 X1, X2, X3...으로, 실제 얻은 관측값을 x1, x2, x3이라고 하자. 

 

점추정은 모수를 추측하는 데 사용할 통계량을 선택하고, 계산하여 모수에 대한 추측값으로 제시하는 과정이다. 

통계량은 θ ̂ 으로 표기하며, 관측값을 이용하여 얻은 관측값은 추정값이라고 부른다. 

 

 

어떠한 추정량을 사용하더라도 모수의 참값을 100% 추측할 수 없기에, 추정량의 정확도를 측정하여 사용하고 있다.

 

 

 

추정량의 정확도 

 

추정량은 표본에 따라 그 값이 달라지는 확률변수이다.

따라서 추정량의 정확도를 판단하는 방법은 여러 가지가 있다. 

 

첫 번째로 MSE 평균제곱오차가 있다. 

추정량과 모수의 차이 대신 평균제곱오차를 사용하여 정확도를 측정한다. 

 

평균제곱오차는 MSE라고 표기하며, 추정량과 모수의 차이인 오차를 제곱하여 구한 기댓값이다. 

추정량 세타 햇 θ ̂ 의 평균제곱오차의 값이 0이라면 추정량과 모수는 일치한다.

또한, 평균제곱오차 값이 작을수록 추정량의 정확도가 높다고 본다. 

 

 

 

두 번째, Bias 불편추정량이 있다. 

추정량의 분포에서 중심위치와 모수의 차이의 값을 사용한다.

추정량의 편의를 중심위치에서 모수를 뺀 값으로 정의하며, 모든 참값에 대해 중심 위치가 모수 세타와 같다면 

추정량 세타 햇 θ ̂ 을 모수 세타에 대한 불편추정량이라 한다.

 

 

 

세 번째, 표준오차가 있다. 

 

세타 햇 θ ̂ 이 불편추정량이더라도 분포가 넓게 퍼져 있다면, 실제 얻게 되는 추정값은 경우에 따라 모수의 참값으로부터 멀리 떨어진 값일 수도 있다.

또한, 새롭게 표본을 추출할 때마다 추정값의 심한 변화가 있을 것이다.  

 

그렇기에 추정량의 표준편차, 즉 표준오차를 이용할 수 있다. 

 

 

 

마지막으로 추정량에 관한 성질인 일치추정량이 있다. 

자료의 개수가 충분히 많으면, 우리가 표본 자료로부터 얻은 추정값은 모수의 참값에 매우 가까워진다는 뜻이다. 

 

모수 참값에 관한 근삿값을 구하는 목적에도 부합한다. 

 

 

 

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출처: 제 4판 통계학입문 [이해와 응용] 

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