이산확률분포 - 음이항분포

음이항분포 negative binomial distribution

 

 

 

음이항분포 

 

앞서 나온 기하분포는 베르누이 시행에서 첫 번째 성공이 나오기까지의 시행 횟수에 관한 확률 분포이다. 

 

음이항 분포는 베르누이 시행에서 r번째 성공이 나올 때까지의 시행 횟수에 관한 확률분포이다. 

 

예를 들어보면, 주사위에서 두번째 4의 눈이 나오는 시행 횟수, 동전에서 다섯 번째로 뒷면이 나오는 시행 횟수에 관한 확률분포로 이용되는 것이다. 

 

r번째 성공이 나올 때까지의 시행횟수 X=x 확률은 다음과 같다. 

 

P(X=x) = P(x번째 시행에서 r번째 성공이 나오는 사건) 

            = P(x-1번 시행까지 성공은 r-1번 나오고 마지막 x시행은 성공) 

 

따라서 x-1번 시행에서 성공의 횟수는 r-1번이어야 하고 마지막 x번째 시행은 성공이어야 총 성공이 r번이 되는 것이다. 

 

확률질량함수는 다음과 같이 정의되며 기호는 X ~ NB(r,p) 로 표현한다. 

 

 

기댓값과 분산 

 

기댓값은 r/p 이고, 분산은 r(1-p)/p**2 이다. 

 

 

정리 

지금까지의 이산확률분포들을 정리해보자면,

 

성공과 실패로 나뉘는 베르누이 분포로부터 

 

이항분포는 베르누이 시행을 n번 반복 

기하분포는 베르누이 시행에서 첫 번째 성공이 나오기까지의 시행 횟수

음이항분포는  베르누이 시행에서 r번째 성공이 나오기까지의 시행 횟수 

 

확장된 것을 알 수 있다. 

 

 

 

 

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출처: 제 4판 통계학입문 [이해와 응용] 

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