이산확률분포 - 이항분포

이항분포 binomial distribution 

 

 

지난 포스팅 - 베르누이 분포- 에 이어 이항 분포를 알아보자. 

 

 

이항분포 

 

이항분포 (binomial distribution) 는 각각의 실험이 독립임을 특징으로 하고 있다.

 

 

앞서 제시한 동전 던지기 실험을 생각해보자. 

 

동전 던지기 실험에서 처음 던져서 나온 결과는 그 다음 결과에 영향을 미치지 않는다.

 

따라서 동전 던지기 실험은 이항실험의 간단한 예라고 볼 수 있다. 

 

 

동전을 던질 때, 뒷면이 나올 확률을 p라고 정의한다면   

 

각각의 확률은 이와 같다. 

정수 1과 2는 주어진 표본 공간 4개 중 뒷면이 포함된 결과를 나열하는 경우의 수와 같기 때문에

조합으로도 나타낼 수 있다. 

 

 

따라서 동전 던지기 실험 확률을 일반화하면 다음과 같다. 

 

이를 통해 이항분포를 일반화하여 나타낼 수 있다. 

 

시행 횟수가 n이고 성공확률이 p인 이항실험에서 얻은 성공횟수를 X라고 하면, 확률 변수 X의 확률질량함수는 이와 같다. 

 

기호로는 X ~ B(n,p) 로 나타낸다. 

 

계산이 어렵고 복잡해질 때는 이항분포표를 사용할 수도 있다. 

 

 

베르누이분포와의 연관성 

 

베르누이 분포는 성공확률이 p이고, 시행 횟수가 1번인 이항분포인 것이다. 

따라서, 문제에서 베르누이 시행을 독립적으로 n번 반복한다면 이항분포를 이용하여 계산할 수 있다. 

 

 

기댓값과 분산 

 

이산확률변수 X가 이항분포를 따른다면, 

X의 평균과 분산은 간단하게 계산가능하다. 

평균 E(X) = np
분산 V(X) = np(1-p)

 

 

 

r에서 이항분포의 히스토그램 

 

 

이항분포의 정규근사 

 

X 가 이항분포를 따르고, 표본의 크기 n 이 충분히 크다면 주어진 확률분포는 정규분포를 따른다. 

이항분포로 확률을 구한 값과 정규분포를 이용하여 확률을 구한 값이 아주 미미한 차이이기 때문이다. 

 

정리

이항분포 binomial distribution

X~B(n,p) 모수 2개 

pmf = nCx*p**x*(1-p)**n-x 

기댓값 np
분산 np(1-p)

 

 

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출처: 제 4판 통계학입문 [이해와 응용] 

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